Martingal

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In diesem Beitrag wird der Prozess Martingal in der Wahrscheinlichkeitsrechnung diskutiert. Für Informationen über Martingal im Pferdesport, sehen Sie unter Zügel. Für die entsprechende Spielstrategie sehen Sie bitte Martingalepiel. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist Martingal ein stochastischer Prozess, der durch den konditionalen erwarteten Wert bestimmt wird und durch die Tatsache gekennzeichnet ist, dass er im Durchschnitt angemessen ist. Martingals ergeben sich natürlich aus der Abbildung von Fairness.

Enge Verwandtschaft zu den Kartingalen haben die Supermartingalen, das sind die stochastischen Vorgänge, bei denen im Durchschnitt ein Schaden entsteht, und die Submartingale, das sind die stochastischen Vorgänge, bei denen im Durchschnitt ein Profit entsteht. Vorgegeben sind ein Wahrscheinlichkeits-Raum (?,A,P){\ \ \\mega ,{\mathcal {A}},P)} und eine Filterung F=(Fn)n?N{displaystyle \mathbb {F} =({ { {\mathcal {F}}_{n})_{n\in {N}}

Da ist ein stochastisches Verfahren X=(Xn)n?N{\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} im Display-Stil, wofür folgendes gilt:. Der bedingte Erwarteungswert der zufälligen Variablen Y{\displaystyle Y}, angegeben von ?-Algebra B{\displaystyle {\mathcal {B}}}. {\mathcal {F}}} { {n}}} \geq X_{n}\\quad P\mathrm {-fast} secure\ f{\ddot {u}}r\ all\ } n\in \mathbb {N}

{\\mathcal {F}}_{t})\geq P\mathrm {-schnell} sicher\ f{ddot {u}}r\ all\ } s>t}. {\mathcal {F}}__{t})\leq P\mathrm {-schnell} sicher\ f{ddot {u}}r\ all\ } s>t}. Im Unterschied zu Martingals neigen Submartingals zum Aufstieg, Supermartingals zum Fall. Das Merkmal, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein, ist nicht nur eine Frage der Stochastik, sondern immer ein stochastischer Vorgang in Verbindung mit der Filtration.

Bei einigen Authoren wird die Filtration nicht angegeben, wenn sie die durch den Prozess selbst generierte Filtration benutzen, die durch FtE:=?(Xs;s?t){\displaystyle {\mathcal {F}}}}_{t}^{E}:=\sigma ({X_{s};s\leq t})}. Ist ( (Xt)t?T {\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}} ein Martingal hinsichtlich der Filtration (Ft)t?T{\ ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}}, dann ist es auch ein Martingal hinsichtlich (FtE)t?T{\}displaystyle ({\mathcal {F}}_}{t}^{E})_{t\in T}}.

Dies zeigt, dass das Kapitell eines Mitspielers, der an einem gerechten Spiel des Zufalls beteiligt ist, als Martingal modelliert werden kann. Vom Standpunkt des Players ist dies ein sogenanntes SuperMartingball (nicht vergessen: "Supermartingball ist für das Casino super") ein Martingball (bezüglich F{\displaystyle \mathbb {F} }). Zur Verdeutlichung, dass es sich um ein Martingal handelte, wird die Begriffsbestimmung neu berechnet:

Es ist also ein Martingal. Fn:=?(Y0,...:Yn){\displaystyle {\mathcal {F}}}}_{n}:=\sigma (Y_{0},\dots ,Y_{n})}, a doob marthing (benannt nach Joseph L. Doob). Martingal, also aX+bY {\displaystyle aX+bY} ist auch ein Martingal für a,b?R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} Are two filtrations S, 2, 3, und ist kleiner als der Name {\\mathcal {\mathcal {F}}}}},

das für jeden t{\displaystyle t} ?? das für jeden t{\displaystyle t} {\displaystyle {\mathcal {F}}}}}_{t}{t}\subset {\mathcal {F}}_{t}^{*}}}, dann ist jeder {\displaystyle {}^^{*}-Martingal auch ein F {\displaystyle {\mathcal {F}}}-Martingal. auch ein Martingal. ein Martingal. Zu den bedeutendsten Ungleichheiten in Relation zu Martingal gehören die maximale Doobianische Ungleichheit und die Crossover Ungleichheit. Das Doobic Maximum an Ungleichheit gibt eine Schätzung, welcher Wert eines Martingales bis zu einem bestimmten Punkt nicht übertroffen wird.

Der Optionale Stopp-Theorem und der Optionale Abtasttheorem verbinden Stopp-Zeiten mit Martingal und behandeln die Charakteristika und erwarteten Werte der angehaltenen Vorgänge. Eine Martingal und ein vorhersehbarer, lokalisierter Vorgang können mit Hilfe des diskretes stochastisches Integral zu einem neuen Martingal kombiniert werden. Dieser Vorgang wird dann als Martingal Transformed des originalen Martingales bezeichnet.

Das Martingal Transformed ist wieder ein Martingal. Wenn das Martingal das ehrliche und vorhersehbare, örtlich begrenzte Verfahren der Strategie des Spiels abbildet, kommt die Martingal-Transformation zu dem Schluss, dass es keine Strategie gibt, die dem Spielteilnehmer im Allgemeinen einen Vorzug gibt. Der Doob-Zerfall ermöglicht für jeden angepassten integrierten Stochastikprozess eine Zersetzung in einen Martingal und einen berechenbaren Prozeß.

Die Konvergenzrate des Martingals stellt Auswahlkriterien für zufällige Variablen zur Verfügung, aus denen sich ein Martingal zusammensetzt, unter dem sie mit ziemlicher Sicherheit oder im p-ten Durchschnitt zusammenlaufen. Örtliche Martingals sind Vorgänge, für die eine eintönig zunehmende Abfolge von Stopzeiten besteht, so dass für jede Stopzeit der angehaltene Vorgang ein Martingal ist. Semimartingals sind eine Gruppe von angepassten Verfahren mit càdlàg Pfaden (die Wege sind rechte Seite durchgehend und die linke Seite ist begrenzt), die in eine örtliche Martingal, einen Prozess mit örtlich begrenzter Schwankung und einen beinahe sicheren begrenzten Teil zerlegt werden können.

Backward-Martingals sind Martingals, bei denen die Index-Menge umgeschaltet wird. Der Begriff "Martingale" selbst kommt aus der Provence und kommt von der französichen Ortschaft Martigues im Departement Bouches-du-Rhône am Rand der Camargue, deren Bewohner einst als etwas Naivität angesehen wurden. Das Zusatzzügel "Martingal" ist auch nach der Ortschaft Martigues genannt, die ein optionaler Bestandteil der Ausrüstung ist, um zu verhindern, dass das Tier den Schädel nach oben reißt und klettert.

Die Pioniere der Martingal-Theorie wussten nicht, dass dieser zusätzliche Zügel auch Martingal heißt [2] - und nichts mit mathematischer Konzeptbildung zu tun hat. A. N. Shiryaev: Martingal. Erik W. Weisstein: Martingal. Wiley, New York, 1953. David Williams: Wahrscheinlichkeit bei Martingales. Ausgabe, de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4 Harald Luschgy: Martingal in diskreten Zeiten.

Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-29960-5 J. Neveu: Diskrete Parameter Martingales. Théorie der Wahrscheinlichkeiten: Unabhängigkeit, Austauschbarkeit, Martingales. Springer, New York 1997, R. Bouss: Optimierungen im Kreditgeschäft mit MartinGal. Haup, Bern 2003. H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, Berlin 1991, p. 144. from The Origins of the Word "Martingale" on Jehps. net, p. 1 f.