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Mit den Sylow Sets ist es möglich, p{\displaystyle p} Untergruppen von finiten Gruppierungen mit Hilfe kombinatorischer Verfahren zu finden. Falls G{\displaystyle G} eine finite Gruppierung ist, dann ist es eine p{displaystyle p} Gruppierung exakt dann, wenn ihre Reihenfolge eine Macht von p{displaystyle p} ist.

In einem Sonderfall einer Ordnungsgruppe p2 {\displaystyle p^{2}}} kann man noch mehr sagen: In diesem Falle ist die Gruppierung entweder zur cyclischen Gruppierung Cp2 {\displaystyle C_{p^{2}}} oder zum Leiten des Produkts Cp×Cp{\displaystyle C_{p}{times C_{p}} in isomorpher Form. Vor allem ist die Band ein Abelscher. ist nilpotent[ 4] und damit auch auslösbar.

Die nicht-triviale finite p{\displaystyle p} Group ist ganz simpel, wenn sie die banalen normalen Teiler hat, wenn sie p{\displaystyle p} Elements hat und für Cp{\displaystyle C_{p} ist. p{Anzeigestil p} -Gruppen der gleichen Ordnung müssen nicht gleichförmig sein, z.B.: Die cyclische Gruppierung C_{4} und die kleine Gruppierung von vier sind beide 2 Gruppen der Ordnung 4, aber nicht gegeneinander.

Ebenso muss eine p {\displaystyle p} group nicht unbedingt abstrakt sein, z.B. die dieder group D8{\displaystyle D_{8}} ist eine non-abelic 2 group. Bis auf Isomorphismus gibt es exakt fünf Ordnungsgruppen p3 {\displaystyle p^{3}}. Drei davon sind Awelsch. Bis auf Isomorphismus gibt es exakt P(n) abelschen Ordnungsgruppen pn{\displaystyle p^{n}}. Jede Gruppierung wird als elementare kommutative Gruppierung bezeichnet, wenn jedes Gruppierungselement (außer dem Neutralelement) die Ordnung p (p Primzahl) hat und seine Kombination kommutativ ist[7].

Elementarabelsche Gruppierungen sind besondere abbelsche Stellungen. Die Bezeichnung wird meist für finite Gesellschaften verwendet. Ein endlicher Rest ist ein elementarer Bestandteil des Abelsches, wenn eine Primärzahl p vorliegt, so daß der Rest ein endlicher (innerer) direkter Bestandteil der cyclischen Teilgruppen der Ordnung p ist. Damit ist die banale Einzelelementgruppe auch elementare Abbelsch und dies in Bezug auf jede Primzahl. 2.

Ein nicht-trivialer Zyklus ist elementarer Bestandteil von Awelsch, wenn er zu einem finiten Hauptkörper (als Additivgruppe) hinzufügt. Anhand der erwähnten Repräsentationen wird deutlich: Jede Teilgruppe und jede Faktorengruppe einer Elementarabelschen Gruppierung ist elementare Awelsch. Durch Addieren dieser Ziffern ergibt sich eine unendlich große und unendlich große abelsche p-Gruppierung.

Alle Gruppen, die dazu eine isomorphe Form haben, werden p?{\displaystyle p^{\infty }} group genannt. Aber auch die Gruppierung p {\displaystyle p^{\infty }} ist eine isomorphe zur multiplizierenden Gruppierung dieser komplizierten Einheitenwurzeln, deren Ordnung eine p-Potenz ist. Sie ist eine apulische p-Group, aber kein elementarer Awelsch. in einer Variable ist (als Gruppierung mit dem Zusatz) eine unendlich elementare abelschen 5.